【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)F重合,且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m,0),使 恒為定值?若存在,求出E的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由題意知拋物線的焦點(diǎn) ,∴
又∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形,∴b=1,
∴橢圓的方程為
(2)解:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為:y=k(x﹣1)
代入橢圓方程,消去y,可得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
∵
∴ =m2﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2= = =
= = …
當(dāng) ,即 時(shí), 為定值
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),
由 可得 ,∴
綜上所述,當(dāng) 時(shí), 為定值
【解析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得c,再求出b的值,即可求橢圓的方程;(2)分類討論,設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,即可求得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
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【題目】給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí),在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖所示,由此推斷,當(dāng)n=6時(shí),至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有( )種.
A.21
B.32
C.43
D.54
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求a,b的值;
(2)如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn), 為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),證明:
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【題目】已知函數(shù)f(x)=asinx﹣bcosx(a,b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x= 處取得最大值,則函數(shù)y=f(x+ )是( )
A.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱
B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱
D.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=xln(﹣x)+(a﹣1)x.
(1)若f(x)在x=﹣e處取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣e2 , ﹣e﹣1]上的最大值g(a).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x+x2 .
(1)求x<0時(shí),f(x)的解析式;
(2)問是否存在這樣的非負(fù)數(shù)a,b,當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇4a﹣2,6b﹣6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面中,△ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比 = .將這個(gè)結(jié)論類比到空間:在三棱錐A﹣BCD中,平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且與AB交于E,則類比的結(jié)論為 = .
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