【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
【答案】解:(Ⅰ)由1﹣x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定義域{x|x≠±1}
(Ⅱ)f(x)為偶函數(shù).
∵f(x)定義域關(guān)于原點對稱,且f(﹣x)=f(x)
∴f(x)為偶函數(shù);
(III)證明:f(x)= = = ﹣1,
設(shè)1<x1<x2,則f(x1)﹣f(x2)= ﹣
=2( ) ,
∵1<x1<x2,
∴x1﹣x2<0,1﹣x2<0,1﹣x1<0,
則f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
則函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)
【解析】(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)成立的條件進行求解即可.(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明.(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較,以及對函數(shù)的奇偶性的理解,了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】浦東新區(qū)某鎮(zhèn)投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),2017年度計劃投入800萬元,以后每年投入將比上一年減少 ,今年該鎮(zhèn)旅游收入估計500萬元,由于該項建設(shè)對旅游的促進作用,預(yù)計今后的旅游收入每年會比上一年增加 ;
(1)設(shè)n年內(nèi)(今年為第一年)總投入為an萬元,旅游總收入為bn萬元,寫出an , bn的表達式;
(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè) 是奇函數(shù),則( )
A. ,且f(x)為增函數(shù)
B.a=﹣1,且f(x)為增函數(shù)
C. ,且f(x)為減函數(shù)
D.a=﹣1,且f(x)為減函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),且x1≠x2 , 證明: <f′( ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓H: +y2=1(a>1),原點O到直線MN的距離為 ,其中點M(0,﹣1),點N(a,0).
(1)求該橢圓H的離心率e;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點F2的直線l和該橢圓交于A,B兩點,點C在橢圓上,O為原點, 若 = + ,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,其中為常數(shù).
(1)求的值;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于區(qū)間,若函數(shù)同時滿足:①在上是單調(diào)函數(shù);②函數(shù), 的值域是,則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.
()求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間.
()函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則f(x)一定不是R上的減函數(shù);
②用反證法證明命題“若實數(shù)a,b,滿足a2+b2=0,則a,b都為0”時,“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”的敘述是“假設(shè)a,b都不為0”.
③把函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位長度,所得到的圖象的函數(shù)解析式為y=sin2x.
④“a=0”是“函數(shù)f(x)=x3+ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.
其中所有正確命題的序號為 .
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