Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），且x1≠x2 ， 證明： ＜f′（ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+x =1+lnx，

令f′（x）＞0，則lnx＞﹣1=ln ，∴x＞ ；

令f′（x）＜0，則lnx＜﹣1=ln ，∴0＜x＜ ，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（ ，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0， ）．

f（x）極小值=f（ ）= =﹣ ，f（x）無極大值

（2）證明：不妨設(shè)x1＜x2，

＜ln +1，即 ﹣ +x2﹣x1，

＜ ，

兩邊同除以x1得， ＜ln ﹣1，

令 =t，則t＞1，即證：tln ＜ln +t﹣1，

令g（t）=tln ﹣t+1，

g′（t）=ln +t + ﹣1=ln =ln（1+ ）﹣ ，

令 （x＞0），h（x）=ln（1+x）﹣x，

h′（x）= ＜0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+ ）﹣ ＜0恒成立，

∴g（t）在（1，+∞）上是減函數(shù)，所以g（t）＜g（1）=0，

∴tln ＜ln +t﹣1得證，

∴ 成立

【解析】（1）求導，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間，有極值點的定義可求極值；（2）不妨設(shè)x1＜x2 ， ＜ln +1，即證 ＜ ，兩邊同除以x1得， ＜ln ﹣1，令 =t，則t＞1，只證：tln ＜ln +t﹣1，令g（t）=tln ﹣t+1，利用導數(shù)證明g（t）＜0即可；
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．