Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2bx的圖象在點A（0，f（0））處的切線l與直線x-y+3=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₁的值為（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2013

  2012

• C、

  2012

  2013

• D、

  2010

  2011

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,數(shù)列的求和

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出函數(shù)的導數(shù)，由切線的斜率和導數(shù)幾何意義求出b，求出f（x）代入

1

f(n)

并進行裂項，代入S₂₀₁₁求值．

解答： 解：由題意得，f′（x）=2x+2b，
∵在點A（0，f（0））處的切線L與直線x-y+3=0平行，
∴f′（0）=2b=1，得b=

1

2

，
∴f（x）=x²+x，
則

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₁=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）]
=1-

1

2012

=

2011

2012

，
故選：A．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．