【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)棱底面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，作，交于點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）見解析 （3）

【解析】

（1）連接交于,連接,根據(jù)中位線定理證明,即可證得平面.

（2）先證平面.又∵平面,則.

（3）建立空間直角坐標(biāo)系,列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,求出平面的法向量為,又因平面,所以為平面的一條法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角的余弦值.

解:（1）證明:連接交于,連接.

因為,分別為,的中點(diǎn),所以為的中位線

∴,又平面,平面,∴平面

（2）在中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),

∴,則平面.

又∵平面,則.

（3）取中點(diǎn),連接.

依題意可得為等邊三角形,∴,

又因為底面,,平面

則,

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示坐標(biāo)系,則有:

,,,,,,

,,設(shè)平面的法向量為,

則,∴

∵平面,所以為平面的一條法向量,且

∴

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地舉行水上運(yùn)動會，如圖，岸邊有兩點(diǎn)，，小船從點(diǎn)以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運(yùn)動員出發(fā)，經(jīng)過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）

（1）若，，運(yùn)動員從處出發(fā)游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內(nèi)（含1小時）能與小船相遇，試求運(yùn)動員游泳速度的最小值；

（2）若運(yùn)動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進(jìn)小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運(yùn)動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運(yùn)動員相遇的條件下的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在非零常數(shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：

①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；

②函數(shù)是“似周期函數(shù)”；

③如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”，那么“或”．

以上正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，的面積的最大值為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中垂線為.若直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司計劃購買1臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．在購進(jìn)機(jī)器時，可以一次性額外購買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次50元．在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機(jī)時購買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元，無需支付小費(fèi)．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計表：

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，表示1臺機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用（單位：元），表示購機(jī)的同時購買的維修服務(wù)次數(shù)．

（1）若，求與的函數(shù)解析式；

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)分別為橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且.過軸上定點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

(1)求實數(shù)及的值；

(2)若有兩個極值點(diǎn)，，求的取值范圍并證明.

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