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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,點分別為橢圓與坐標軸的交點,且.軸上定點的直線與橢圓交于,兩點,點為線段的中點.

1)求橢圓的方程;

2)求面積的最大值.

【答案】12

【解析】

1)由題設知橢圓的離心率和的關系,結合,求得的值,即可得到橢圓的標準方程;

2)分直線MN的斜率為0和不為0兩種情況討論,設直線MN的方程與橢圓的方程聯立,結合根與系數的關系,求得點Q的坐標,得出點QAB的距離,求得面積的表達式,利用基本不等式,即可求解

1)由題意,橢圓的離心率為,所以,

其中,

,得.

又由,得,,,

所以橢圓的標準方程為.

2)直線的方程為,

①當直線的斜率時,直線過點交橢圓于左右頂點,則中點為坐標原點,此時,

②當直線的斜率時,設直線的方程為

聯立方程組,得,∴點,

∴點到直線的距離

∵點在直線的下方,即,

,

,令,則,

時,

時,

當且僅當,即時等號成立,此時

時,,此時,

綜上所述,的最大值為.

練習冊系列答案
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B.1個人吸煙,那么這個人有99%的概率患有肺癌

C.100個吸煙者中一定有患肺癌的人

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