【題目】(題文)
等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)D,E分別為AB,AC上的點(diǎn),且滿足(如圖①),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角,連接A1B,A1C(如圖②).
(1)求證:A1D⊥平面BCED;
(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P(不包括端點(diǎn)),使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°?若存在,求出A1P的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在;A1P
【解析】
(1)計(jì)算,利用勾股定理可證A1D⊥DE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面;
(2)建立空間坐標(biāo)系,設(shè),求出平面的法向量,根據(jù)線面角列方程計(jì)算的值即可得出結(jié)論.
(1)證明:由題意可知A1D=1,A1E=2,∠DAE=60°,
∴DE,
∴A1D2+DE2=A1E2,∴A1D⊥DE,
∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角,即平面A1DE⊥平面BDE,平面A1DE∩平面BDE=DE,
∴A1D⊥平面BCED.
(2)由(1)可知DE⊥BD,
以D為原點(diǎn),以DB,DE,DA1為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系D﹣xyz,如圖所示,
則D(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,1),C(,,0),
則(,,0),(2,0,0),令(0<λ<1),
則(2λ,λ,0),即P(2λ,λ,0),
∴(2λ,λ,﹣1),
由(1)知(0,1,0)為平面A1BD的一個(gè)法向量,
則cos,
令,解得λ,即(,,﹣1),
∴A1P.
∴線段BC上存在點(diǎn)P使得直線PA1與平面A1BD所成的角為60°,且A1P.
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【題目】在三棱錐A﹣BCD中,∠ABC=∠ABD=∠CBD=90°,BC=BD=BA=1,過點(diǎn)A作平面α與BC,BD分別交于P,Q兩點(diǎn),若AB與平面α所成的角為30°,則截面APQ面積的最小值是( )
A.1B.C.D.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知.
(1)令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足:.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是CD的中點(diǎn),將三角形ADE沿AE翻折到圖②的位置,使得平面AED′⊥平面ABC.
(1)在線段BD'上確定點(diǎn)F,使得CF∥平面AED',并證明;
(2)求△AED'與△BCD'所在平面構(gòu)成的銳二面角的正切值.
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【題目】
如圖所示多面體中,AD⊥平面PDC,ABCD為平行四邊形,E,F分別為AD,BP的中點(diǎn),AD=,AP=,PC=.
(Ⅰ)求證:EF∥平面PDC;
(Ⅱ)若∠CDP=90°,求證BE⊥DP;
(Ⅲ)若∠CDP=120°,求該多面體的體積.
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【題目】對(duì)某校高三年級(jí)100名學(xué)生的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如果兩眼視力不同,取較低者統(tǒng)計(jì)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知從這100人中隨機(jī)抽取1人,其視力在的概率為.
(1)求a,b的值;
(2)若報(bào)考高校A專業(yè)的資格為:任何一眼裸眼視力不低于5.0,已知在中有的學(xué)生裸眼視力不低于5.0.現(xiàn)用分層抽樣的方法從和中抽取4名同學(xué),設(shè)這4人中有資格(僅考慮視力)考A專業(yè)的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】支付寶和微信支付是目前市場(chǎng)占有率較高的支付方式,某第三方調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)使用這兩種支付方式的人數(shù)作了對(duì)比.從全國(guó)隨機(jī)抽取了100個(gè)地區(qū)作為研究樣本,計(jì)算了各個(gè)地區(qū)樣本的使用人數(shù),其頻率分布直方圖如圖.
(1)記A表示事件“微信支付人數(shù)低于50千人”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為支付人數(shù)與支付方式有關(guān);
(3)根據(jù)支付人數(shù)的頻率分布直方圖,對(duì)兩種支付方式的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
K2
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【題目】已知A、B、C三個(gè)箱子中各裝有2個(gè)完全相同的球,每個(gè)箱子里的球,有一個(gè)球標(biāo)著號(hào)碼1,另一個(gè)球標(biāo)著號(hào)碼2.現(xiàn)從A、B、C三個(gè)箱子中各摸出1個(gè)球.
(Ⅰ)若用數(shù)組中的分別表示從A、B、C三個(gè)箱子中摸出的球的號(hào)碼,請(qǐng)寫出數(shù)組的所有情形,并回答一共有多少種;
(Ⅱ)如果請(qǐng)您猜測(cè)摸出的這三個(gè)球的號(hào)碼之和,猜中有獎(jiǎng).那么猜什么數(shù)獲獎(jiǎng)的可能性最大?請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知橢圓:,,分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn),的點(diǎn),若的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.
寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí),求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)點(diǎn)R滿足:,,求證:與的面積之比為定值.
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