Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，右頂點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）是橢圓的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，試判斷直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 設(shè)（x1，y1），（x2，y2），聯(lián)立方程組根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用，得到，即可得出;

(2) 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，設(shè)直線EF的方程為，聯(lián)立方程得到，利用韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.

（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，則

，又，代入整理得

， （*）

由得，當(dāng)時(shí)，方程兩根為，則有

，代入（*）得，

所以或，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則恒成立，

所以，直線過定點(diǎn).

（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，直線、EF的斜率顯然存在，

所以，設(shè)直線EF的方程為，同（1）

由得，（#）

當(dāng)時(shí)，方程兩根為，則有，①

因?yàn)橹本�的斜率與的斜率互為相反數(shù)，則

，又，代入整理得

， ②

①代入②，化簡得，即

所以或，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，方程（#）即，則時(shí)，，

所以當(dāng)且時(shí)，恒成立，

所以，直線EF的斜率為定值.