【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是棱長為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B﹣EFC的體積;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
【答案】
(1)證明:取PD中點G,連結(jié)GF、AG,
∵GF為△PDC的中位線,∴GF∥CD且 ,
又AE∥CD且 ,∴GF∥AE且GF=AE,
∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,
又EF面PAD,AG面PAD,
∴EF∥面PAD
(2)解:取AD中點O,連結(jié)PO,
∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且 ,
又PC為面ABCD斜線,F(xiàn)為PC中點,∴F到面ABCD距離 ,
故
(3)解:連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,
∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.
連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,
即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,
在Rt△EBC中, ,∴ ,
∴ ,即二面角P﹣EC﹣D的正切值為
【解析】(1)取PD中點G,連結(jié)GF、AG,由三角形中位線定理可得GF∥CD且 ,再由已知可得AE∥CD且 ,從而得到EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,然后利用線面平行的判定可得EF∥面PAD;(2)取AD中點O,連結(jié)PO,由面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD,且 ,求出F到面ABCD距離 ,然后利用等積法求得三棱錐B﹣EFC的體積;(3)連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,得到OM⊥EC.進一步證得PM⊥EC,可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 x﹣1(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x0)= , ,求cos2x0的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是矩形, 平面, 是等腰三角形, , 是的一個三等分點(靠近點),的延長線與的延長線交于點,連接.
(1)求證: ;
(2)求證:在線段上可以分別找到兩點, ,使得直線平面,并分別求出此時的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y=0上.
(1)若圓C與y軸的正半軸相切,且該圓截x軸所得弦的長為2 ,求圓C的標準方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:y=﹣2x+b與圓C交于兩點A,B,若以AB為直徑的圓過坐標原點O,求實數(shù)b的值;
(3)已知點N(0,3),圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點M,使MN=2MO(O為坐標原點),求圓心C的縱坐標的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x , |(x≥0),圖象如圖所示.函數(shù)g(x)=﹣x2﹣2x+a,(x<0),其圖象經(jīng)過點A(﹣1,2).
(1)求實數(shù)a的值,并在所給直角坐標系xOy內(nèi)做出函數(shù)g(x)的圖象;
(2)設(shè)h(x)= ,根據(jù)h(x)的圖象寫出其單調(diào)區(qū)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=2,∠ABC=90°,點E、F分別是棱AB、BB1的中點,當(dāng)二面角C1﹣AA1﹣B為45o時,直線EF和BC1所成的角為( )
A.45o
B.60o
C.90o
D.120o
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點P(2,1)
(1)點A(﹣1,3)和點B(3,1)到直線l的距離相等,求直線l的方程;
(2)若直線l與x正半軸、y正半軸分別交于A,B兩點,且△ABO的面積為4,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,線段AB在平面α內(nèi),線段BD⊥AB,線段AC⊥α,且AB= ,AC=BD=12,CD= ,求線段BD與平面α所成的角.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com