【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的反函數(shù);
(2)若,求函數(shù)的值域并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)記函數(shù),若函數(shù)的最大值為5,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)f﹣1(x)=log4(x﹣4),x>4;(2)f(x)的值域?yàn)椋?/span>4,+∞),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(﹣∞,+∞);(3)(﹣∞,].
【解析】
(1)當(dāng)a<0時(shí),f(x)=4x+4,即可解得f﹣1(x)=log4(x﹣4),x>4,
(2)設(shè)2x=t,則f(t)=|t2﹣5t+4|+5t,分段求出函數(shù)的值域并判斷判斷區(qū)間,
(3)記函數(shù)g(x)(0≤x≤2),設(shè)2x=t,則1≤t≤4,g(t),分類討論,求出函數(shù)的最值即可.
(1)當(dāng)a<0時(shí),f(x)=4x﹣a2x+4+a2x=4x+4,
∴4x=y﹣4,y>4,
∴x=log4(y﹣4),
∴y=log4(x﹣4),
∴f﹣1(x)=log4(x﹣4),x>4
(2)當(dāng)a=5時(shí),f(x)=|4x﹣52x+4|+52x,
設(shè)2x=t,則4x﹣52x+4=t2﹣5t+4,且,
當(dāng)t2﹣5t+4<0時(shí),解得1<t<4,
當(dāng)t2﹣5t+4≥0時(shí),解得,
∴f(t)=|t2﹣5t+4|+5t,
當(dāng)t≥4時(shí),f(t)在(0,1)和(4,+∞)上單調(diào)遞增,則4<f(t)≤5或f(t)≥20,
當(dāng)1<t<4時(shí),f(t)=﹣t2+10t﹣4=﹣(t﹣5)2+21,
∴f(t)在(1,4)上單調(diào)遞增,
∴f(1)<f(t)<f(4),
∴5<f(t)<20,
綜上所述f(x)的值域?yàn)椋?/span>4,+∞),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(﹣∞,+∞),
(3)記函數(shù)g(x)(0≤x≤2),
∴g(t),
當(dāng)a≤0時(shí),g(t),在[1,2]上單調(diào)遞減,在(2,4]上單調(diào)遞增,
∴g(t)max=max{g(1),g(5)}
∵g(1)=5,g(4)=5,
∴函數(shù)g(t)的最大值為5,
即當(dāng)a≤0時(shí),滿足函數(shù)g(x)的最大值為5,
當(dāng)a>0時(shí),由t2﹣at+4≥0,即a≤t,
則由(2)可得y=t,在[1,2]上單調(diào)遞減,在(2,4]上單調(diào)遞增,
∴(t)min=24,
∴當(dāng)0<a≤4時(shí),g(t),故可知滿足函數(shù)g(x)的最大值為5,
當(dāng)a>4時(shí),g(t),由于y=t,在[1,2]上單調(diào)遞減,在(2,4]上單調(diào)遞增,∴t,
當(dāng)a>5時(shí),g(t)
∵y=﹣(t),在[1,2]上單調(diào)遞增,在(2,4]上單調(diào)遞減,
∴ymax=﹣(2)+2a=﹣4+2a>6,此時(shí)不滿足函數(shù)g(t)的最大值為5,
當(dāng)4<a≤5時(shí),,∴,
∴函數(shù)g(t)的最大值為,當(dāng)時(shí),即時(shí),滿足最大值為5,
當(dāng)a>時(shí),不滿足函數(shù)g(t)的最大值為5,
綜上所述當(dāng)a∈(﹣∞,]時(shí),函數(shù)滿足函數(shù)g(x)的最大值為5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為強(qiáng)化自己的市場競爭地位,決定擴(kuò)大公司規(guī)模,拓展業(yè)務(wù),建立連鎖公司,連鎖公司利潤的20%歸總公司,建立連鎖公司的數(shù)量與單個(gè)公司月平均利潤的關(guān)系如下表所示:
連鎖公司數(shù)量/個(gè) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
單個(gè)公司月平均利潤/十萬元 | 8 | 6 | 4.5 | 3.5 | 3 |
由相關(guān)系數(shù)可以反映兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱,,認(rèn)為變量相關(guān)性很強(qiáng);,認(rèn)為變量相關(guān)性一般;,認(rèn)為變量相關(guān)性較弱.
(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù),并判斷變量、相關(guān)性強(qiáng)弱;
(2)求關(guān)于的線性回歸方程
(3)若一個(gè)地區(qū)連鎖公司的前期投入(十萬元)與數(shù)量的關(guān)系為,根據(jù)所求回歸方程從公司利潤角度幫公司對(duì)一個(gè)地區(qū)連鎖公司數(shù)量做出決策.
附注:參考數(shù)據(jù):,
參考公式:相關(guān)系數(shù),
線性回歸方程中,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的,那么在兩個(gè)判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?
C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù),試判斷是否為“類函數(shù)”?并說明理由;
(2)設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則( )
A.與有關(guān),且與有關(guān)B.與有關(guān),但與無關(guān)
C.與無關(guān),且與無關(guān)D.與無關(guān),但與有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為了測(cè)量A、B處島嶼的距離,小海在D處觀測(cè),A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方向,A在C處的北偏西45°方向,則A、B兩島嶼的距高為___________海里.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域?yàn)?/span>,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長均為2,點(diǎn)、分別在棱、上移動(dòng),且,.
(1)若,求異面直線與所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小為,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a4=10,且a3、a6、a10成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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