【題目】,為所有滿足下列條件的整數(shù)數(shù)列的個數(shù):

(1),,;

(2)不存在、,使得.

試求的值.

【答案】2012

【解析】

將長度為的圓周等分成份,分點依次標為0,1,…,.再將標的分點染為黑色,其他個分點染為白色.則題設數(shù)列與以下染法一一對應:

(1)標0的點為黑點,且黑點將圓周分成段圓弧,每段弧長為1或2或3;

(2)圓周上沒有兩個黑點為對徑點,即黑點與白點一一對應,組成對徑點.

顯然,不存在相鄰的三個黑點.否則,設、、為相鄰黑點.則其對徑點、為相鄰白點,但包含這三個白點的弧長大于3,矛盾.

從而,滿足(1)、(2)的染法為標0的點為黑色,將各點染黑、白兩色,使得其中沒有相鄰的三個點同色,再對應地將點染色(染黑色染白色).

首先,對長為的圓弧各分點染兩色,使得兩端點為黑色,且沒有相鄰的三個點同色.

設其染法個數(shù)為.易知,,,.

,考慮最后一段以黑點為端點的圓弧.

若其弧長為3則相應染法個數(shù)為;

若其弧長為2,則相應染法個數(shù)為;

若其弧長為1,則其相鄰的弧長為2或3,其染法個數(shù)為.

.

下面求滿足(1)、(2)的染法個數(shù).

若點為黑色,則染法個數(shù)為.

若點為白色,而為白色,則、為黑色,1為白色.如果2為黑色,則染法個數(shù)為如果2為白色,則3為黑色,染法個數(shù)為.從而,

.①

逐項計算得

,,,,,,,.

由式①得

,

.

.

練習冊系列答案
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2)在抽取的100名學生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績低于80分為非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99%的把握認為比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù):.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月AB兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

交付金額(元)

支付方式

0,1000]

1000,2000]

大于2000

僅使用A

18

9

3

僅使用B

10

14

1

(Ⅰ)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月AB兩種支付方式都使用的概率;

(Ⅱ)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;

(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.

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