已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過(guò)拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

(1)y2=4x;(2)點(diǎn)N坐標(biāo)為.

解析試題分析:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),利用拋物線的準(zhǔn)線,得到M點(diǎn)的坐標(biāo),利用圓的方程得到圓心C的坐標(biāo),在中,可求出,在中,利用相似三角形進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換,得到的長(zhǎng),而,從而解出P的值,即得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo),利用N、C點(diǎn)坐標(biāo)寫出圓C的方程,利用點(diǎn)C的坐標(biāo)寫出圓C的方程,兩方程聯(lián)立,由于P、Q是兩圓的公共點(diǎn),所以聯(lián)立得到的方程即為直線PQ的方程,而O點(diǎn)在直線上,代入點(diǎn)O的坐標(biāo),即可得到s、t的值,即得到N點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)由已知得C(2,0).
設(shè)ABx軸交于點(diǎn)R,由圓的對(duì)稱性可知,
于是,
所以,即p=2.
故拋物線E的方程為y2=4x.          5分
 
(2)設(shè)N(s,t).
P,QNC為直徑的圓D與圓C的兩交點(diǎn).
D方程為
x2y2-(s+2)xty+2s=0.       ①
又圓C方程為x2y2-4x+3=0.       ②
②-①得(s-2)xty+3-2s=0.       ③  9分
P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程①和②的解,也是方程③的解,從而③為直線PQ的方程.
因?yàn)橹本PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,所以3-2s=0,
故點(diǎn)N坐標(biāo)為.       12分
考點(diǎn):拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知曲線的方程為,過(guò)原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,過(guò)作斜率為的直線與曲線相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,過(guò)作斜率為的直線與曲線相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,如此下去,一般地,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交,另一個(gè)交點(diǎn)記為,設(shè)點(diǎn)).
(1)指出,并求的關(guān)系式();
(2)求)的通項(xiàng)公式,并指出點(diǎn)列, ,,  向哪一點(diǎn)無(wú)限接近?說(shuō)明理由;
(3)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,設(shè),求所有可能的乘積的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn),連結(jié)、分別交直線、兩點(diǎn).試問(wèn)直線、的斜率之積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:(a>b>0),過(guò)點(diǎn)(0,1),且離心率為
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點(diǎn),直線lx=2x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP,BP分別交直線l于E,F(xiàn)兩點(diǎn).證明:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),恒為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)(點(diǎn)不同于),直線與直線交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn),試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),的長(zhǎng)軸是圓的直徑,是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線,其中交圓兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;
(2)求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn),且,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點(diǎn)Q(1,a),M,N為曲線E上不同的三點(diǎn),且,過(guò)M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線,記兩切線的交點(diǎn)為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖所示,F1F2分別為橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),AB為兩個(gè)頂點(diǎn),該橢圓的離心率為,的面積為.

(1)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)作與AB平行的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),,求直線的方程.

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