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已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

(1);(2).

解析試題分析：(1)設,利用,用表示的坐標，然后利用,得到的方程，得到點軌跡;
（2）解法一：利用曲線方程,求出點坐標，設，，,通過聯立方程，得到的坐標，利用導數，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后再求的最小值，
解法二：利用導數，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后結合,能夠得到關于點所滿足的方程，再求出的最小值.
試題解析：（1）解：設
，由得     4分
（2）解法一：易知，設，，，
設的方程為
聯立方程消去，得，所以.
同理，設的方程為，.      6分
對函數求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點處的切線的方程為.     8分
聯立兩條切線的方程
解得，，
所以點的坐標為.因此點在直線上. 10分
因為點到直線的距離，
所以，當且僅當點時等號成立．
由，得，驗證知符合題意.
所以當時，有最小值.      12分
解法二：由題意，，設，，，
對函數

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩個焦點分別為，且點在橢圓C上，又.
（1）求焦點F2的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經過原點，求實數b的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知定點與分別在軸、軸上的動點滿足：,動點滿足．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線分別交于點（為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經過點，其左、右頂點分別是、，左、右焦點分別是、，（異于、）是橢圓上的動點，連接交直線于、兩點,若成等比數列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段為直徑的圓過點.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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