【題目】過拋物線y2＝4x焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,且|AB|＝4,若原點O是△ABC的垂心,則點C的坐標為_____．

【答案】

【解析】

由題意設直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和,由拋物線的性質可得弦長|AB|的表達式,再由題意可得參數(shù)的值,進而求出直線的方程,代入拋物線的方程求出A,B的坐標,由O為三角形ABC的垂心可得C在x軸上,設C的坐標,由OA⊥BC,可得數(shù)量積為0,求出C點的坐標．

解：顯然直線AB的斜率不為0,

由題意設直線AB的方程為：x＝my+1,設A（x1,y1）,B（x2,y2）,

聯(lián)立直線AB與拋物線的方程,

整理可得y2﹣4my﹣4＝0,y1+y2＝4m,所以x1+x2＝4m2+2,

由拋物線的性質可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4,

由題意可得4m2+4＝4,所以m＝0,即直線AB垂直于x軸,

所以可得A（1,2）,B（1,﹣2）,

因為原點O是△ABC的垂心,所以C在x軸上,設C（a,0）,可得AO⊥BC,即0

即（1,2）（1﹣a,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a﹣4＝0,解得a＝﹣3,

所以C的坐標為：,

故答案為：．

練習冊系列答案
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【題目】四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點，為的中點，平面底面.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.

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（1）求的極值；

（2）證明：時，

（3）若函數(shù)有且只有三個不同的零點，分別記為，設且的最大值是，證明：

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（1）求曲線的普通方程；

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【題目】如圖，四棱錐的側棱與四棱錐的側棱都與底面垂直，，，，，，.

（1）證明：平面；

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【題目】已知數(shù)列滿足奇數(shù)項成等差，公差為，偶數(shù)項成等比，公比為，且數(shù)列的前項和為，，.

若，.

①求數(shù)列的通項公式；

②若，求正整數(shù)的值；

若，，對任意給定的，是否存在實數(shù)，使得對任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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