【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)證明:時,
(3)若函數(shù)有且只有三個不同的零點,分別記為,設(shè)且的最大值是,證明:
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)討論導(dǎo)函數(shù)零點情況,最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點以及導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定極值,(Ⅱ)作差函數(shù),先利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性,確定導(dǎo)函數(shù)零點,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)最小值,最后根據(jù)基本不等式證得結(jié)論,(Ⅲ)先利用導(dǎo)數(shù)研究有兩個零點時,其兩個零點對應(yīng)區(qū)間,再令,根據(jù)條件用表示,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值,即得結(jié)論.
(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.
由已知可得.
(1)當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增; 無極值.
(2)當(dāng)時,由,解得;由,解得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 的極大值為,無極小值.
(Ⅱ)證明:令,故只需證明.
因為
所以函數(shù)在上為增函數(shù),且,.
故在上有唯一實數(shù)根,且.
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
從而當(dāng)時,取得最小值.
由,得,即,
故 ,
因為,所以等于號取不到,即
綜上,當(dāng)時, 即.
(Ⅲ)∵ 函數(shù)有且只有三個不同的零點,而是其零點,
∴ 函數(shù)存在兩個零點(不等于),即有兩個不等且不等于的實數(shù)根.
可轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個不等且不等于的實數(shù)根,
即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點.
∵,
∴ 由,解得,故在上單調(diào)遞增;
由,解得,故在上單調(diào)遞減;
故函數(shù)的圖象與的圖象的交點分別在,上,
即的兩個根分別在區(qū)間,上,
∴的三個不同的零點分別是,且.
令,則.
由,解得故, .-令,則.
令,則.
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,即.
所以,即在區(qū)間上單調(diào)遞增,
即,
所以,即,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的序號是( )
①“b=2”是“1,b,4成等比數(shù)列”的充要條件;
②“雙曲線與橢圓有共同焦點”是真命題;
③若命題p∨¬q為假命題,則q為真命題;
④命題p:x∈R,x2﹣x+1>0的否定是:x∈R,使得x2﹣x+1≤0.
A.①②B.②③④C.②③D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中, 橢圓的中心在坐標原點,其右焦點為,且點 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線交橢圓于另一點,直線交直線于點, 求證:三點在同一條直線上
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程的曲線是圓.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)若直線與圓相交于、兩點,且(為坐標原點),求實數(shù)的值;
(3)當(dāng)時,設(shè)為直線上的動點,過作圓的兩條切線、,切點分別為、,求四邊形面積的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過定點作不垂直于x軸的直線,交拋物線于A,B兩點.
(1)設(shè)O為坐標原點,求證:為定值;
(2)設(shè)線段的垂直分線與x軸交于點,求n的取值范圍;
(3)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為D,求證:直線過定點,并求出定點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場營銷人員進行某商品M市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn),每回饋消費者一定的點數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點統(tǒng)計得到以如表:
反饋點數(shù)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量百件天 | 1 |
經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量千件與返還點數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程,并預(yù)測若返回6個點時該商品每天銷量;
若節(jié)日期間營銷部對商品進行新一輪調(diào)整已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預(yù)期值進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
返還點數(shù)預(yù)期值區(qū)間 百分比 | ||||||
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
求這200位擬購買該商品的消費者對返點點數(shù)的心理預(yù)期值X的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點值代替;估計值精確到;
將對返點點數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的3人中“欲望膨脹型”消費者的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):,;.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點分別為,,是橢圓在第一象限內(nèi)的一點,并滿足,過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.
(1)求點坐標;
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點時,求直線的方程;
(3)求證直線的斜率為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為,其面積為.①若,則的值唯一;②若,則的值有2個;③若為三角形,則;④若為五邊形,則.以上命題中,真命題的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com