Question

【題目】已知為等差數列，為等比數列，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）記的前項和為，求證：；

（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；

(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.

(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.

由，，可得d=1.

從而的通項公式為.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

從而的通項公式為.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，

故，，

從而，

所以.

(Ⅲ)當n為奇數時，，

當n為偶數時，，

對任意的正整數n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

從而得：.

因此，.

所以，數列的前2n項和為.