Question

已知（3x-1）ⁿ的展開式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，求（x

2

3

-3x²）ⁿ的展開式中：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）先由條件求得n=5，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式求得這兩項(xiàng)．
（2）設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，則由T_r+1=（-3）^r•

C

r 5

•x

10+4r

3

，可得

3r •C r 5 ≥3r-1 •C r-1 5 3r •C r 5 ≥3r+1 •C r+1 5

，由此求得自然數(shù)r的值．

解答： 解：由題意可得 2^n-1=16，解得n=5．
（1）∵n=5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
∴T₃=

C

5

2•( x

2

3

)3•（3x²）²=90x⁶，T4=

C

3 5

(x

2

3

)2(-3x2)3=-270x

22

3

．
（2）設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，
則T_r+1=（-3）^r•

C

r 5

•x

10+4r

3

，根據(jù)

3r •C r 5 ≥3r-1 •C r-1 5 3r •C r 5 ≥3r+1 •C r+1 5

 求得

7

2

≤r≤

9

2

，
求得r=4．
即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，即T5=

C

4 5

(x

2

3

)(-3x2)4=405x

26

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．