Question

已知數(shù)列{a_n}滿足前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=（2n+1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a_n與S_n的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=（2n+1）•a_n的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=4-2=2，滿足a_n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴an=2n．
（2）∵b_n=（2n+1）•a_n，
∴b_n=（2n+1）•2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=6+2×2²+2×2³+2×2⁴+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=6+2×

4(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和數(shù)列求和，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法．考查學(xué)生的計(jì)算能力．