【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=2,Sn=n2+n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設{ }的前n項和為Tn , 求證Tn<1.
【答案】
(1)解:當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n.
∵n=1時,a1=2×1=2,也適合
∴數(shù)列{an}的通項公式是an=2n.
(2)解: = = ﹣
∴{ }的前n項和為Tn=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )=1﹣ =
∵0< <1
∴1﹣ ∈(0,1),即Tn<1對于一切正整數(shù)n均成立.
【解析】(1)利用公式an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2),得當n≥2時an=2n,再驗證n=1時,a1=2×1=2也適合,即可得到數(shù)列{an}的通項公式.(2)裂項得 = ﹣ ,由此可得前n項和為Tn=1﹣ <1,再結合 ∈(0,1),不難得到Tn<1對于一切正整數(shù)n均成立.
【考點精析】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式的相關知識點,需要掌握前n項和公式:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點,且|MN|=8.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設直線l為拋物線C的切線,且l∥MN,P為l上一點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知如圖:四邊形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=2 ,EB=BC=2,點F為CE上一點,且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE∥平面BFD;
(2)求三棱錐A﹣DBE的體積;
(3)求二面角D﹣BE﹣A的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為,頂點為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)是橢圓上除頂點外的任意點,直線交軸于點,直線交于點.設的斜率為, 的斜率為,試問是否為定值?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸),一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超過的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據按照, , , 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該城市居民中隨機抽取3人,記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值(精確到0.01),并說明理由.
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【題目】設直線與拋物線相交于不同兩點、,與圓相切于點,且為線段中點.
(1) 若是正三角形(是坐標原點),求此三角形的邊長;
(2) 若,求直線的方程;
(3) 試對進行討論,請你寫出符合條件的直線的條數(shù)(直接寫出結論).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數(shù)關系如圖所示(收支差額車票收入支出費用),由于目前本條線路虧損,公司有關人員提出了兩條建議:建議(Ⅰ)不改變車票價格,減少支出費用;建議(Ⅱ)不改變支出費用,提高車票價格,下面給出的四個圖形中,實線和虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關系,則
A. ①反映了建議(Ⅱ),③反映了建議(Ⅰ)
B. ①反映了建議(Ⅰ),③反映了建議(Ⅱ)
C. ②反映了建議(Ⅰ),④反映了建議(Ⅱ)
D. ④反映了建議(Ⅰ),②反映了建議(Ⅱ)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1,﹣1),則E的方程為( 。
A.
B.
C.
D.
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