Question

已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A，B兩點(diǎn)（B在上）．
（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），求圓D的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求當(dāng)∠APB最大時(shí)，直線PA的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)兩圓外切求出圓的半徑即可求圓D的方程；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)結(jié)合斜率判斷當(dāng)∠APB取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件即可求直線PA的方程．

解答： 解：（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），
∵圓D的與圓C外切，
∴CD=

32+(-4)2

=5，
設(shè)圓D的半徑為r，則2+r=5，即r=3
則圓D的方程為：x²+（y-3）²=9；
（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），圓D半徑為r，則（r+2）²=16+a²，A、B的坐標(biāo)分別為（0，a-r），（0，a+r）
∴直線PA的斜率k_PA=

a-r

3

，k_PB=

a+r

3

，
則tan∠APB=

a+r 3 - a-r 3

1+ a+r 3 × a-r 3

=

6r

a2-r2+9

=

6r

(r+2)2-16-r2+9

=

3

2

+

9

8r-6

，
由（r+2）²=16+a²≥16
得|r+2|≥4，解得r≥2，此時(shí)a=0，
∴當(dāng)r=2時(shí)，tan∠APB=

3

2

+

9

8r-6

取得最大值，

此時(shí)a=0，r=2，則A（0，-2），k_PA=

a-r

3

=

2

3

，
則直線PA的方程為y=

2

3

（x-3），
即2x-3y-6=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，根據(jù)兩圓外切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．