Question

如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交于△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若BC=2EF，證明：
（Ⅰ）CF∥AB；
（Ⅱ）△BCD∽△GBD．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,平行線分線段成比例定理

專題：立體幾何

分析：（I）如圖所示，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)即可證明；
（II）利用平行線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定定理即可得出．

解答： 證明：（I）如圖所示，
∵D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE

∥

.

1

2

BC，
又BC=2EF，
∴DE=EF．
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴CF∥AB．
（II）∵CF∥AB，∴BC=AF．
由四邊形ADCF是平行四邊形，∴CD=AF．∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵FG∥BC，∴∠BGD=∠CFD．
∵CF∥AB，∴∠BDG=∠CFD．
∴∠CBD=∠BDG=∠CDB=∠DGB．
∴△BCD∽△DBG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定定理，考查了推理能力，屬于中檔題．