Question

已知二次函數(shù)h(x)=ax2+3x+c(c＞3)，其中函數(shù)h′(x)的零點(diǎn)為

3

2

，f（x）=lnx-h（x）
（1）若函數(shù)f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上為單調(diào)函數(shù)，求m的范圍
（2）若函數(shù)y=2x-lnx，x∈[1，4]的圖象總在y=f（x）圖象上方，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由h′（x）的零點(diǎn)為

3

2

，得h′（

3

2

）=0，可求a，由函數(shù)f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上為單調(diào)函數(shù)，知f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（

1

2

，m+

1

4

）上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

1

2

＜m+

1

4

≤1，解出即可；
（2）由函數(shù)y=2x-lnx，x∈[1，4]的圖象總在y=f（x）圖象上方，可得2x-lnx＞f（x），即5x-x²-2lnx+c＞0在∈[1，4]上恒成立，令g（x）=5x-x²-2lnx+c，x∈[1，4]，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）_min，從而有g(shù)（x）_min＞0，解出可得；

解答： 解：（1）h′（x）=2ax+3，
∵h(yuǎn)′（x）的零點(diǎn)為

3

2

，
∴h′（

3

2

）=2a×

3

2

+3=0，解得a=-1，
則f（x）=lnx-h（x）=lnx+x²-3x-c，
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或1，
∵y=2x²-3x+1的圖象開(kāi)口向上，且函數(shù)f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上為單調(diào)函數(shù)，
∴

1

2

＜m+

1

4

≤1，解得

1

4

＜m≤

3

4

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

1

4

，

3

4

]．
（2）∵函數(shù)y=2x-lnx，x∈[1，4]的圖象總在y=f（x）圖象上方，
∴2x-lnx＞f（x），即5x-x²-2lnx+c＞0在∈[1，4]上恒成立，
令g（x）=5x-x²-2lnx+c，x∈[1，4]，
則g′（x）=5-2x-

2

x

=-

2(x- 1 2 )(x-2)

x

，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）_min=min{g（1），g（4）}，
又g（1）=4+c，g（4）=4-2ln4+c，g（1）＞g（4），
∴g（x）_min=g（4）=4-2ln4+c，
∴4-2ln4+c＞0，解得c＞2ln4-4，
∴c的取值范圍是（2ln4-4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．