Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，曲線與相交于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為3．

【解析】

（1）將點(diǎn)帶入拋物線方程，可求得的值，進(jìn)而得焦點(diǎn)坐標(biāo)；將點(diǎn)代入橢圓方程，并結(jié)合橢圓中的等量關(guān)系，解方程組求得，即可得橢圓的方程；

（2）方法一：設(shè)，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而由弦長公式表示出弦長；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出直線的方程，代入橢圓后求得點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求得到的距離和到的距離，即可表示出四邊形面積，即可確定面積的最小值；方法二：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得四邊形面積，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，同上即可.

（1）點(diǎn)在上，

，

，

橢圓的右焦點(diǎn)為，

，解得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）解法一：設(shè)，，，

設(shè)直線AC的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，

整理得．

由韋達(dá)定理得，，

由弦長公式可得

，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，，

，

直線OG的方程為，代入，

整理得，

取點(diǎn)，

B到直線AC的距離

，

O到直線AC的距離，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．

綜上所述，四邊形OABC的面積最小值是3．

解法二：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線AC的方程為，

此時(shí)；

②當(dāng)直線AC斜率存在時(shí)，設(shè)為k，

，，

AC的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立，

得，

，

，，

．

的方程為，

聯(lián)立，得，

不妨設(shè)，，

B到直線AC的距離為，

O到直線AC的距離為，

由弦長公式得

，

．

綜上所述，當(dāng)直線AC垂直于x軸時(shí)，面積取得最小值為3．