Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到 ，討論和0和1 的大小關(guān)系，在不同情況下求得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即得到原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)極值的概念得到結(jié)果；（2）設(shè) ，構(gòu)造以上函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，使得最小值大于等于0即可.

解析：

（Ⅰ），

，

∵的定義域?yàn)?/span>.

①即時(shí)， 在上遞減， 在上遞增，

， 無(wú)極大值.

②即時(shí)， 在和上遞增，在上遞減，

， .

③即時(shí)， 在上遞增， 沒(méi)有極值.

④即時(shí)， 在和上遞增， 在上遞減，

∴， .

綜上可知： 時(shí)， ， 無(wú)極大值；

時(shí)， ， ；

時(shí)， 沒(méi)有極值；

時(shí)， ， .

（Ⅱ）設(shè) ，

，

設(shè)，則， ， ，

∴在上遞增，∴的值域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)， ， 為上的增函數(shù)，

∴，適合條件.

②當(dāng)時(shí)，∵，∴不適合條件.

③當(dāng)時(shí)，對(duì)于， ，

令， ，

存在，使得時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

即在時(shí)， ，∴不適合條件.

綜上， 的取值范圍為.