【題目】設復數(shù),其中xnyn∈R,n∈N*,i為虛數(shù)單位,,z1=3+4i,復數(shù)zn在復平面上對應的點為Zn.
(1)求復數(shù)z2,z3,z4的值;
(2)是否存在正整數(shù)n使得?若存在,求出所有滿足條件的;若不存在,請說明理由;
(3)求數(shù)列的前項之和.
【答案】(1)z2=﹣1+7i,z3=﹣8+6i,z4=﹣14﹣2i;(2)存在,n=4k+1,k∈N;(3)1+2102
【解析】
(1)利用已知條件之間求解z2,z3,z4;
(2)求出,利用復數(shù)的冪運算,求解即可;
(3)通過,推出xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,得到xn+4yn+4=16xnyn,然后求解數(shù)列的和即可.
(1)z2=(1+i)(3+4i)=﹣1+7i,,.
(2)若,則存在實數(shù)λ,使得,故,
即(xn,yn)=λ(x1,y1),
又zn+1=(1+i)zn,故,即為實數(shù),
,,故n﹣1為4的倍數(shù),即n﹣1=4k,n=4k+1,k∈N;
(3)因為,故xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,所以xn+4yn+4=16xnyn,
又x1y1=12,x2y2=﹣7,x3y3=﹣48,x4y4=28,
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)
=,
而,,
所以數(shù)列{xnyn}的前102項之和為1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.(說明:數(shù)學滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請估計數(shù)學成績的平均分;
(2)根據(jù)物理成績統(tǒng)計表,請估計物理成績的中位數(shù);
(3)若數(shù)學成績不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學總數(shù)為6人,從數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學中隨機抽取2人,求兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】北京聯(lián)合張家口獲得2022年第24屆冬奧會舉辦權(quán),我國各地掀起了發(fā)展冰雪運動的熱潮,現(xiàn)對某高中的學生對于冰雪運動是否感興趣進行調(diào)查,該高中男生人數(shù)是女生的1.2倍,按照分層抽樣的方法,從中抽取110人,調(diào)查高中生“是否對冰雪運動感興趣”得到如下列聯(lián)表:
感興趣 | 不感興趣 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計 | 110 |
(1)補充完成上述列聯(lián)表;
(2)是否有99%的把握認為是否喜愛冰雪運動與性別有關(guān).
附: (其中).
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四個命題:①任意兩條直線都可以確定一個平面;②若兩個平面有3個不同的公共點,則這兩個平面重合;③直線a,b,c,若a與b共面,b與c共面,則a與c共面;④若直線l上有一點在平面α外,則l在平面α外.其中錯誤命題的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E,F分別是棱AA′,CC′的中點,過直線E,F的平面分別與棱BB′、DD′交于M,N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②當且僅當x=時,四邊形MENF的面積最。
③四邊形MENF周長L=f(x),x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù);
④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h(x)為常函數(shù);
以上命題中假命題的序號為( )
A. ①④B. ②C. ③D. ③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學習小組在生物研究性學習中,對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究,于是小組成員在3月份的31天中隨機挑選了5天進行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 3月2日 | 3月8日 | 3月15日 | 3月22日 | 3月28日 |
溫差/ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 14 |
(1)在這個學習小組中負責統(tǒng)計數(shù)據(jù)的那位同學為了減少計算量,他從這5天中去掉了3月2日與3月28日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所去掉的試驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式:,)(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線: 經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求出曲線、的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若、分別是曲線、上的動點,求的最大值.
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