Question

已知兩點(diǎn)M（-5，0），N（5，0），給出下列直線方程：①5x-3y=0；②5x-3y-52=0；③x-y-4=0；則在直線上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6的所有直線方程是

②③

 （只填序號(hào)）．

Answer 1

分析：由M（-5，0），N（5，0），點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6，知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線：

x2

9

-

y2

16

=1．把①5x-3y=0代入雙曲線方程，得-9y²=400，無(wú)解．方程：①5x-3y=0上不存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6；把②5x-3y-52=0代入雙曲線方程，得9x²-520x+2848=0，△＞0，直線方程②5x-3y-52=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6．把③x-y-4=0代入雙曲線方程，得7x²+8x-288=0，△＞0，直線方程③x-y-4=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6．

解答：解：∵M(jìn)（-5，0），N（5，0），點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=6的雙曲線，
這個(gè)雙曲線的方程為：

x2

9

-

y2

16

=1．
把①5x-3y=0代入雙曲線方程，得-9y²=400，無(wú)解．
∴方程：①5x-3y=0上不存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6；
把②5x-3y-52=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

( 5 3 x- 52 3 ) 2

16

=1，
整理，得9x²-520x+2848=0，
∵△=270400-36×2848=167872＞0，
∴直線方程②5x-3y-52=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6．
把③x-y-4=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

(x-4)2

16

=1，
整理，得7x²+8x-288=0，
∵△=64+28×288=8128＞0，
∴直線方程③x-y-4=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|PN|+6．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是圓錐曲線的知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．