Question

設函數fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）當b＞0時，判斷函數f_n（x）在（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內存在唯一的零點；
（Ⅲ）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b＞0時，由函數的解析式可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，從而得到函數f_n（x）在（0，+∞）上是增函數．
（Ⅱ）根據函數f_n（x）=xⁿ+x-1，再根據 fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，結合函數在（0，+∞）上是增函數以及函數零點的判定定理，證得結論．
（Ⅲ）由于f₂（x）=x²+bx+c，它的對稱軸為x=-

b

2

，分故當-

b

2

≤-1、分當-

b

2

≥1、當-1＜-

b

2

≤0、當 0＜-

b

2

＜1四種情況，分別利用條件以及二次函數的性質求得b的范圍，綜合可得結論．

解答：解：（Ⅰ）當b＞0時，由函數fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)，
可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，故函數f_n（x）在（0，+∞）上是增函數．
（Ⅱ）設n≥2，b=1，c=-1，則函數f_n（x）=xⁿ+x-1，
再根據 fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，
結合函數在（0，+∞）上是增函數，可得f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內存在唯一的零點．
（Ⅲ）由于n=2，f₂（x）=x²+bx+c，它的對稱軸為x=-

b

2

，
由于對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故當-

b

2

≤-1，即 b≥2時，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（1）-f₂（-1）=2b≤4，∴b=2．
當-

b

2

≥1，即 b≤-2時，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（-1）-f₂（1）=-2b≤4，∴b=-2．
當-1＜-

b

2

≤0，即0≤b＜2時，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

+b+1≤4，
解得-6≤b≤2；結合0≤b＜2可得 0≤b＜2．
當 0＜-

b

2

＜1，即-2＜b＜0時，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(-1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

-b+1≤4，
解得-2≤b≤6；結合-2＜b＜0可得-2＜b＜0．
綜上可得，-2≤b≤2，即b得范圍為[-2，2]．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數零點的判定定理，求二次函數在閉區(qū)間上的最值，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．