Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

，n∈N*．
（1）證明：e^-xf₃（x）≤1；
（2）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=f_n（x）的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）寫(xiě)出要用的函數(shù)，對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，整理看出導(dǎo)函數(shù)一定小于0，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定其最大值．
（2）先證明n為偶數(shù)時(shí)，f_n（x）=0無(wú)解，F(xiàn)_n（x）=e^-xf_n（x），求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)看出函數(shù)的單調(diào)性，看出方程根的個(gè)數(shù)，從而得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，同樣的方法證明當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）f₃（x）=1+x+

x2

2

+

x3

6

，設(shè)F（x）=e^-xf₃（x）=e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

），
F′（x）=e^-x（1+x+

1

2

x²）-e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

）=-e^-x•

x3

6

，
列表如下：

x	（-∞，0）	（0，+∞）
F'（x）	+	-
F（x）	增	減

∴y=F（x）為（-∞，0]上的增函數(shù)，（0，+∞）上的減函數(shù)，且F（0）=1．
∴F（x）≤1，即：e^-xf₃（x）≤1
（2）先證明n為偶數(shù)時(shí)，f_n（x）=0無(wú)解．
證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
設(shè)n=2k（k∈N^*）則F_n′（x）=-e^-x•

1

(2k-1)!

x^2k-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)_n′（x）＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)_n′（x）＞0
∴F_n（x）在（-∞，0）上增，在（0，+∞）上減，
F_n（x）_max=F_n（0）=0，所以n為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)_n（x）=0無(wú)解，從而函數(shù)y=f_n（x）的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；．
再證n為奇數(shù)時(shí)，f_n（x）=0有唯一解
證明：設(shè)F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
設(shè)n=2k+1（k∈N^*）則F_n′（x）=-e^-x•

1

2k!

x^2k＜0，
所以y=F_n（x）為R上的減函數(shù)，
而F（1）＞0，F(xiàn)（-1）＜0，
所以方程F_n（x）=0有唯一解，從而函數(shù)y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，本題解題的關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求解，注意函數(shù)和方程之間的關(guān)系．