Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）設(shè)n＞2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間（

3

5

，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（

3

5

，1）上恒成立，進(jìn)而判斷出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，分析區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值符號關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得答案．
（2）由，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，利用待定系數(shù)法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，可得3b+c的范圍，進(jìn)而求出3b+c的最小值和最大值；
（3）將n=2，根據(jù)|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，分類討論不同情況下b的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得b的取值范圍．

解答：解：（1）由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（

3

5

，1）上恒成立，
從而f_n（x）=xⁿ+x-1在（

3

5

，1）單調(diào)遞增，
又f_n（1）=1＞0，f_n（

3

5

）=（

3

5

）ⁿ-

2

5

＜（

3

5

）²-

2

5

＜0，
即f_n（x）在區(qū)間（

3

5

，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（2）因?yàn)閨f_n（-1）|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|f_n（1）|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=（b-c）+2（b+c）
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值為-4，最大值為2
（3）當(dāng)n=2時，f₂（x）=x²+bx+c
（Ⅰ）當(dāng)b≥2或b≤-2時，即-

b

2

≤-1或-

b

2

≥1，此時
只需滿足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤9
∴-

9

2

≤b≤

9

2

，
即b∈[-

9

2

，-2]∪[2，

9

2

]
（Ⅱ）當(dāng)0≤b＜2時，即-1＜-

b

2

≤0，此時
只需滿足f₂（1）-f₂（-

b

2

）≤9，即b²+4b-32≤0
解得：-8≤b＜4，
即b∈[0，2）
（Ⅲ）當(dāng)-2＜b＜0時，即0＜-

b

2

＜1，此時
只需滿足f₂（-1）-f₂（-

b

2

）≤9，即b²-4b-32≤0
解得：-4≤b≤8，
即b∈（-2，0）
綜上所述：b∈[-

9

2

，

9

2

]

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，待定系數(shù)法求范圍，及函數(shù)恒成立問題，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大，運(yùn)算量也比較大．