Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；

（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解；

（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.

（1）當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?/span>,

由可得,

令,則,

由,得；由,得,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

則的最大值為,

且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.

由圖可知,當(dāng)時(shí),直線和函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn),即函數(shù)有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)或,即或時(shí),直線和函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn),即函數(shù)有一個零點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí),直線與函數(shù)的象沒有交點(diǎn),即函數(shù)無零點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,

設(shè),則,

①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,

在上不恒成立；

②若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞減,不符合題意；

③若,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,

所以,

由,得,

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,

所以,所以,

又,所以,即c的最大值為2.