設是一個自然數(shù),是的各位數(shù)字的平方和,定義數(shù)列:是自然數(shù),(,).
(1)求,;
(2)若,求證:;
(3)當時,求證:存在,使得.
(1),;(2)證明過程詳見解析;(3)證明過程詳見解析.
解析試題分析:本題是一道新定義題,主要考查歸納推理、數(shù)學歸納法、分類討論思想等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力和轉化能力.第一問,由于是a的各位數(shù)字的平方和,所以,;第二問,通過題干中給出的的定義設出的值,利用,得到的值,然后用作差法比較和的大小;第三問,由已知條件,由于且,得,由歸納推理得,再用數(shù)學歸納法證明一下,因此存在(),有,再分類討論p、q的情況,得出結論.
(1);
. 5分
(2)假設是一個位數(shù)(),
那么可以設,
其中且(),且.
由可得,.
所以.
因為,所以.
而,
所以,即. 9分
(3)由,即,可知.
同理,可知.
由數(shù)學歸納法知,對任意,有.
即對任意,有.
因此,存在(),有.
則,, ,,
可得對任意,,有.
設,即對任意,有.
若,取,,則有.
若,由,可得,
取,,則有. 14分
考點:歸納推理、數(shù)學歸納法、分類討論思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù).
(1)試給出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表達式(不要求證明);
(2)證明:+++…+<.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前項組成集合,從集合中任取個數(shù),其所有可能的個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如:當時,,,;當時,,,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)猜想,并用數(shù)學歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
對于平面上的點集,如果連接中任意兩點的線段必
定包含于,則稱為平面上的凸集,給出平面上4個
點集的圖形如右(陰影區(qū)域及其邊界):其中為凸集
的是 (寫出所有凸集相應圖形的序號)。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知下列三個方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,其中至少有一個方程有實根,求實數(shù)a的取值范圍.
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