Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=60°，過點(diǎn)AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N．則

|MN|

|AB|

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)出|AF|，|BF|分別過A，B，M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是A′，B′，N，進(jìn)而表示出|MN|，利用余弦定理表示出|AB|利用基本不等式求得其范圍，最后求得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：設(shè)|AF|=r₁，|BF|=r₂，分別過A，B，M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是A′，B′，N，則|MN|=

r1+r2

2

，
由余弦定理得|AB|²=r

2 1

+r

2 2

-2r₁r₂cos60°=（r₁+r₂）²-3r₁r₂c≥（r₁+r₂）²-3•

(r1+r2)2

4

≥

1

4

（r₁+r₂）²，
∴（

|MN|

|AB|

）²≤

(r1+r2)2 4

(r1+r2)2 4

=1，
∴

|MN|

|AB|

的最大值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．注重了學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)綜合運(yùn)用．