Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為.那么把稱為閉函數(shù).下列結論正確的是( )

A.函數(shù)是閉函數(shù)

B.函數(shù)是閉函數(shù)

C.函數(shù)是閉函數(shù)

D.時,函數(shù)是閉函數(shù)

E.時,函數(shù)是閉函數(shù)

Answer 1

【答案】BD

【解析】

依次判斷每個選項：根據(jù)單調(diào)性排除；在上的值域為 B正確；根據(jù)閉函數(shù)定義得到，故D正確，E錯誤，得到答案.

因為在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)不是閉函數(shù)，A錯誤；

在定義域上是減函數(shù)，由題意設，則，解得

因此存在區(qū)間，使在上的值域為，B正確；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)，C錯誤；

若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，使函數(shù)的值域為，即，所以a，b為方程的兩個實數(shù)根，

即方程有兩個不等的實根.

當時，有，解得；

當時，有，此不等式組無解.

綜上所述，，因此D正確，E錯誤；

故選：BD