在三棱錐SABC,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn),側(cè)棱SB和底面成45°角.

(1)D為側(cè)棱SB上一點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),CDAB;

(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.

 

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【解析】O點(diǎn)為原點(diǎn),OBx,OCy,OSz軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知∠SBO45°,SO3.O(0,00),C(0,0)A(0,,0)S(0,03),B(3,0,0)

(1)設(shè)λ(0≤λ≤1),(1λ)λ(3(1λ),0,3λ),

所以(3(1λ),,3λ)

因?yàn)?/span>(3,,0),CDAB,所以·9(1λ)30解得λ.

時(shí),CDAB.

(2)平面ACB的法向量為n1(00,1),設(shè)平面SBC的法向量n2(x,y,z),n2·0,n2·0解得n2(1,,1),

所以cosn1,n2〉=.

又顯然所求二面角的平面角為銳角故所求二面角的余弦值的大小為.

 

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某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400m的操場(chǎng),如圖所示操場(chǎng)的兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,試問如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬?

 

 

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若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分k________

 

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已知f(x)=-3x2a(6a)xb.

(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0

(2)當(dāng)不等式f(x)>0的解集為(1,3)時(shí),求實(shí)數(shù)a、b的值.

 

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不等式3x2x4≤0的解集是__________.

 

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如圖所示,在直三棱柱A1B1C1ABC,ABACABAC2,A1A4,點(diǎn)DBC的中點(diǎn).

(1)求異面直線A1BC1D所成角的余弦值;

(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.

 

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已知a(2,13),b(1,4,2),c(7,5,λ),ab、c三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)λ等于________

 

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如圖①所示,在RtABC,AC6,BC3,∠ABC90°,CD∠ACB的平分線,點(diǎn)E在線段ACCE4.如圖所示,△BCD沿CD折起使得平面BCD⊥平面ACD,連結(jié)AB,設(shè)點(diǎn)FAB的中點(diǎn).

(1)求證:DE⊥平面BCD;

(2)EF∥平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn),求三棱錐B-DEG的體積.

 

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如圖在正三棱柱ABCA1B1C1,A1AAC,D、EF分別為線段AC、A1A、C1B的中點(diǎn).

(1)證明:EF∥平面ABC

(2)證明:C1E平面BDE.

 

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