【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式在時恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明：.

【答案】（1）見解析；（2）[1，＋∞)；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)可得，當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知當(dāng)時，不等式在，時恒成立，當(dāng)時，不等式不成立，綜合可得的范圍；

（3）由（2）的單調(diào)性易得，進(jìn)而可得，，，，將上述式子相加可得結(jié)論．

解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由可得，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，即不等式在時恒成立，

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

存在使得，

即不等式不成立，

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為，；

（3）由（2）得當(dāng)時，不等式在時恒成立，

即，，．

即，

，，，，

將上述式子相加可得

原不等式得證．

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