Question

已知全體實(shí)數(shù)集R，A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|x²-2ax+a≤0}，且A∩B≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專(zhuān)題：集合

分析：由已知中A∩B≠∅，可知存在x∈[1，2]使x²-2ax+a≤0成立，即存在x∈[1，2]使a≥

x2

2x-1

，構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題后，可得答案．

解答： 解：∵A={x|x²-3x+2≤0}=[1，2]，
B={x|x²-2ax+a≤0}，且A∩B≠∅，
故存在x∈[1，2]使x²-2ax+a≤0成立，
即存在x∈[1，2]使a≥

x2

2x-1

，
∵令g（x）=

x2

2x-1

，x∈[1，2]，
即a≥g（x）_min，
∵而g′（x）=

2x(2x-1)-2x2

(2x-1)2

=

2x(x-1)

(2x-1)2

＞0在[1，2]上恒成立，
∴g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
故g（x）_min=g（1）=1，
故a≥1，
即a的取值范圍為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)存在性問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．