Question

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的離心率為 ，且過(guò)點(diǎn)（ ，1）． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為 ，則 ， a， ∴ ，
∵橢圓過(guò)點(diǎn) ，∴ ，解得 a2=25，b2=9，
故橢圓C的方程為
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，
直線AB的方程為y=kx+m，因?yàn)锳既在橢圓上，又在直線AB上，
從而有 ，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，
由于直線與橢圓相切，
故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，從而可得：m2=9+25k2 ， ①，x1= ，②
由 ．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，
由于直線與圓相切，得m2=R2（1+k2），③，x2= ，④
由②④得：x2﹣x1= ，由①③得：k2= ，
∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2
= =

即|AB|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)R= 時(shí)取等號(hào)，所以|AB|的最大值為2
【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過(guò)點(diǎn)（ ，1）求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．（Ⅱ）用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．