【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2,該橢圓與y軸正半軸交于點M,且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點F2任作一直線交橢圓于A,B兩點,平面上有一動點P,設(shè)直線PA,PF2,PB的斜率分別為k1,k,k2,且滿足k1+k2=2k,求動點P的軌跡方程.
【答案】(1);(2)x=4.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義可得,從而可求出橢圓的方程.
(2)設(shè)過點F2的直線方程為y=(x﹣1)(當斜率存在時),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理求出兩根之和、兩根之積,用兩點表示出直線的斜率,代入k1+k2=2k,化簡即可求解;當直線斜率不存在時,驗證是否滿足求出的軌跡方程即可.
(1)由題意可知:b=|OM|,a=|MF1|=2,
所以橢圓標準方程為.
(2)①設(shè)過點F2的直線方程為y=(x﹣1)(當斜率存在時),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
聯(lián)立方程,得到(3+42)x2﹣82x+42﹣12=0,
其中,,y1=(x1﹣1),y2=(x2﹣1),
由k1+k2=2k得:,
通分代入得:,
即(x0﹣4)((x0﹣1)﹣y0)=0,y0=(x0﹣1)舍去,所以x0=4,
②當直線斜率k不存在時,即為x=1,經(jīng)驗證可知直線x0=4上任意一點亦滿足條件.
所以點P的軌跡的方程為x=4.
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【題目】已知(m,n為常數(shù)),在處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式并寫出定義域;
(Ⅱ)若,使得對上恒有成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若有兩個不同的零點,求證:.
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【題目】如圖1,在等腰梯形中,分別為的中點.現(xiàn)分別沿將和折起,使得平面平面,平面平面,連接,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)求多面體的體積.
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【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實數(shù),對任意,都有,則稱數(shù)列有上界,是數(shù)列的一個上界,已知定理:單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).
(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請說明理由;
(2)若非負數(shù)列滿足,(),求證:1是非負數(shù)列的一個上界,且數(shù)列的極限存在,并求其極限;
(3)若正項遞增數(shù)列無上界,證明:存在,當時,恒有.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,過作軸的垂線交橢圓于點(點在軸上方),斜率為的直線交橢圓于,兩點,過點作直線交橢圓于點,且,直線交軸于點.
(1)設(shè)橢圓的離心率為,當點為橢圓的右頂點時,的坐標為,求的值.
(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】關(guān)于復數(shù),下列命題①若,則;②為實數(shù)的充要條件是;③若是純虛數(shù),則;④若,則.其中真命題的個數(shù)為( )
A.1B.2
C.3D.4
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【題目】設(shè)數(shù)集由實數(shù)構(gòu)成,且滿足:若(且),則.
(1)若,試證明中還有另外兩個元素;
(2)集合是否為雙元素集合,并說明理由;
(3)若中元素個數(shù)不超過8個,所有元素的和為,且中有一個元素的平方等于所有元素的積,求集合.
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【題目】如圖1是某條公共汽車線路收支差額與乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖2、3所示.你能根據(jù)圖象判斷下列說法正確的是( )
①圖2的建議為減少運營成本;②圖2的建議可能是提高票價;
③圖3的建議為減少運營成本;④圖3的建議可能是提高票價.
A.①④B.②④C.①③D.②③
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(3+x)+lg(3-x).
(1)判斷的奇偶性并加以證明;
(2)判斷的單調(diào)性(不需要證明);
(3)解關(guān)于m的不等式f( m )- f( m+1)﹤0.
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