【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實(shí)數(shù),對(duì)任意,都有,則稱數(shù)列有上界,是數(shù)列的一個(gè)上界,已知定理:單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).

(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;

(2)若非負(fù)數(shù)列滿足),求證:1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界,且數(shù)列的極限存在,并求其極限;

(3)若正項(xiàng)遞增數(shù)列無上界,證明:存在,當(dāng)時(shí),恒有.

【答案】1)存在,1;(2)見解析,極限1;(3)見解析.

【解析】

(1)確定,得到上界的最小值.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明,再證明數(shù)列單調(diào)遞增,得到極限存在,最后計(jì)算極限.

(3)假設(shè)結(jié)論不成立,取,,推出矛盾,得到證明.

(1)易知:,

數(shù)列存在上界,上界中的最小值為1

(2)非負(fù)數(shù)列,先證明

當(dāng)時(shí):成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)成立,即

當(dāng)時(shí):

也成立

所以恒成立,1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界,得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

(3)證明:假設(shè),當(dāng)時(shí),恒有.

滿足正項(xiàng)遞增數(shù)列無上界.

,當(dāng)時(shí),

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在,當(dāng)時(shí),恒有.

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【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng))的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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