Question

如圖，一個(gè)水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)p₀）開始計(jì)算時(shí)間．
（1）將點(diǎn)p距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；
（2）點(diǎn)p第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當(dāng)x=0時(shí)，z=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令最大值為6，即 z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6可求得時(shí)間．

解答：解：（1）依題意可知z的最大值為6，最小為-2，
∴

A+B=6 -A+B=-2

⇒

A=4 B=2

；
∵op每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為(

5×2π

60

)=

π

6

t，得z=4sin(

π

6

t+φ)+2，
當(dāng)t=0時(shí)，z=0，得sinφ=-

1

2

，即φ=-

π

6

，故所求的函數(shù)關(guān)系式為
z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2
（2）令z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6，得sin(

π

6

t-

π

6

)=1，
取

π

6

t-

π

6

=

π

2

，得t=4，
故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要4S．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．