Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分別是側(cè)棱BB₁、CC₁上一點(diǎn)，BE=1，CF=2，平面AEF與側(cè)棱DD₁相交于G．
（1）證明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求線段CG與平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C為頂點(diǎn)，四邊形AEFG在對(duì)角面BB₁D₁D內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積．

Answer 1

分析：（1）先利用條件證明BD⊥平面AA₁D₁D，再推得GE∥BD⇒GE⊥平面BB₁C₁C⇒平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．
（2）先利用條件證明CE⊥平面AEFG，⇒∠CGE是CG與平面AEFG所成的角，然后在△CGE中求線段CG與平面AEFG所成角的正弦值即可；
（3）因?yàn)樗倪呅蜛EFG在對(duì)角面BB₁D₁B內(nèi)的正投影為平行四邊形，且點(diǎn)A的正投影為點(diǎn)D，所以找到底面積S=DG×GE=

3

，
高h(yuǎn)=BC=1，再代入體積計(jì)算公式即可．
方法二：是用建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz的方法來(lái)求
（1）先利用條件找到平面AEFG的一個(gè)法向量和平面BB₁C₁C的一個(gè)法向量，再推得他們的數(shù)量積為0即可．
（2）把線段CG與平面AEFG所成角的正弦值轉(zhuǎn)化為求平面AEFG的一個(gè)法向量與

GC

=(-1，

3

，-1)所成角的余弦值的絕對(duì)值來(lái)求．

解答：解：（1）證明：連接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因?yàn)锳A₁⊥底面ABCD，AA₁⊥BD，AA₁∩AD=A，
所以BD⊥平面AA₁D₁D，因?yàn)槠矫鍭A₁D₁D∥平面BB₁C₁C，
所以AE∥FG，同理AG∥EF，所以AEFG是平行四邊形，
所以AG=EF，

AD2+DG2

=

BC2+(CF-BE)2

，所以DG=CF-BE=1=BE，
連接EG，因?yàn)镈G∥BE，所以BDGE是平行四邊形，GE∥BD，
因?yàn)锽D⊥平面AA₁D₁D，所以GE⊥平面BB₁C₁C，GE?平面AEFG，所以平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．

（2）連接CE，因?yàn)镃F=2、CE=

BC2+BE2

=

2

=EF，CF²=CE²+EF²，所以CE⊥EF，
因?yàn)槠矫鍭EFG⊥BB₁C₁C，平面AEFG∩BB₁C₁C=EF，CE?平面BB₁C₁C，所以CE⊥平面AEFG，
連接EG，則CE⊥EG，∠CGE是CG與平面AEFG所成的角，
因?yàn)镃G=

CD2+DG2

=

5

，所以sin∠CGE=

CE

CG

=

2

5

．

（3）四邊形AEFG在對(duì)角面BB₁D₁B內(nèi)的正投影為平行四邊形，且點(diǎn)A的正投影為點(diǎn)D，
所以底面積S=DG×GE=

3

（12分），
高h(yuǎn)=BC=1（14分），所以棱錐的體積V=

1

3

Sh=

3

3

．
方法二：（1）連接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因?yàn)锳A₁⊥底面ABCD，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DB、DD₁
所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則A（1，0，0）、E(0，

3

，1)、F(-1，

3

，2)，
設(shè)平面AEFG的一個(gè)法向量為

n1

=（a，b，c），則

n1 • AE =0 n1 • EF =0

，

-a+ 3 b+c=0 -a+c=0

，
取a=1得

n1

=（1，0，1），平面BB₁C₁C的一個(gè)法向量為

n2

=（0，1，0），
因?yàn)?span id="v1x1trt" class="MathJye">

n1

•

n2

=0，所以平面AEFG⊥BB₁C₁C．

（2）設(shè)G（0，0，d），因?yàn)槠矫鍭A₁D₁D∥平面BB₁C₁C，所以AE∥FG，同理AG∥EF，
所以AEFG是平行四邊形，所以

AG

=

EF

，
即（-1，0，d）=（-1，0，1），解得d=1，又C(-1，

3

，0)，所以

GC

=(-1，

3

，-1)，
設(shè)CG與平面AEFG所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n1

，

GC

＞|=

| n1 • GC |

| n1 |•| GC |

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及線面角，幾何體的體積計(jì)算．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．