【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,AB=BD= ,PB=
(Ⅰ)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)Q是棱PC上的點,當(dāng)PA∥平面BDQ時,求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:取AD中點O,連結(jié)OP,OB, ∵PAD是邊長為2的正三角形,∴ ,
∵ ,
∴OB2+OP2=PB2 , 則OP⊥OB,
∵OB∩AD=O,∴OP⊥平面ABCD,
又OP平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)解:連接AC交BD于E,連接QE,
∵PA∥平面BDQ,∴PA∥QE,
又E為AC的中點,∴Q為PC的中點.
以O(shè)為原點,分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(0,2,0),D(﹣1,0,0),Q(﹣1,1, ).
.
設(shè)平面BDQ的一個法向量為 .
由 ,得 ,取z=2 ,得 .
由圖可知,平面ABD的一個法向量 .
∴cos< >= = .
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)取AD中點O,連結(jié)OP,OB,求解三角形可得OP⊥AD,OP⊥OB,再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD,進一步得到平面PAD⊥平面ABCD;(Ⅱ)連接AC交BD于E,連接QE,由線面平行的性質(zhì)可得PA∥QE,則Q為PC的中點.以O(shè)為原點,分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點的坐標(biāo),得到平面BDQ與平面ABD的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標(biāo)原點,為拋物線上一點,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)過拋物線的焦點的直線交拋物線于點,若以為直徑的圓過點,且與軸交于, 兩點,則( )
A. 3 B. 2 C. -3 D. -2
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【題目】已知函數(shù) 的定義域為R.
(Ⅰ)求實數(shù)m的范圍;
(Ⅱ)若m的最大值為n,當(dāng)正數(shù)a,b滿足 時,求4a+7b的最小值.
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【題目】(本小題滿分12分)
如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的
中點.
(1) 求證: AC⊥BC1
(2) 求證:AC1∥平面CDB1
(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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【題目】將函數(shù)y=sin(2x+ )圖象上的點M(θ, )(0<θ< )向右平移t(t>0)個單位長度得到點M′.若M′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上,則( )
A.θ= ,t的最小值為
B.θ= ,t的最小值為
C.θ= ,t的最小值為
D.θ= ,t的最小值為
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【題目】下列說法正確的有_________.
①函數(shù)的一個對稱中心為;
②在中, 是的中點,則;
③在中, 是的充要條件;
④定義,已知,則的最大值為.
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【題目】如圖,平面平面,四邊形和是全等的等腰梯形,其中,且,點為的中點,點是的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)請在圖中所給的點中找出兩個點,使得這兩點所在的直線與平面垂直,并給出證明;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得平面?如果存在,求出的長度;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知菱形ABCD如圖(1)所示,其中∠ACD=60°,AB=2,AC與BD相交于點O,現(xiàn)沿AC進行翻折,使得平面ACD⊥平面ABC,取點E,連接AE,BE,CE,DE,使得線段BE再平面ABC內(nèi)的投影落在線段OB上,得到的圖形如圖(2)所示,其中∠OBE=60°,BE=2.
(Ⅰ)證明:DE⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
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