Question

已知函數(shù)（其中）.
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域與導數(shù)，對是否在定義域內以及在定義域內與進行大小比較，從而確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）在（1）的條件下結合函數(shù)的單調性與零點存在定理對端點值或極值的正負進行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）函數(shù)定義域為，
，
①當，即時，
令，得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，
令，得，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；
②當，即時，
令，得或，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，
令，得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；
③當，即時，恒成立，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；
（2）①當時，由（1）可知，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，在單調遞增，
所以在上的最小值為，
由于，
要使在上有且只有一個零點，
需滿足或，解得或，
所以當或時，在上有且只有一個零點；
②當時，由（1）可知，函數(shù)在上單調遞增，
且，，
所以當時，在上有且只有一個零點；
③當時，由（1）可知，函數(shù)在內單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，所以當時，總有，
因為，
所以，
所以在區(qū)間內必有零點，
又因為在內單調遞增，
從而當時，在上有且只有一個零點，
綜上所述，當或或時，在上有且只有一個零點.