已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(1)如果函數(shù)有相同的極值點,求的值;
(2)設(shè),問是否存在,使得,若存在,請求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(3)記函數(shù),若函數(shù)有5個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
(1);(2);(3).

試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,對求導(dǎo),得到有2個根,而處有極大值,所以那2個根分別等于,得到a的值;第二問,假設(shè)存在使得,將代入得到解析式,由于,所以將問題轉(zhuǎn)化成了存在,使得,分類討論,討論拋物線的對稱軸和區(qū)間端點的大小,數(shù)形結(jié)合,得到結(jié)論;第三問,已知條件中有5個不同的零點,根據(jù)解析式的特點,知有3個不同的實根,有2個不同的實根,通過拋物線的圖形可知要使有2個不同的實根,只需,而,通過第一問得到的極值點,討論2個數(shù)的3種大小關(guān)系,結(jié)合圖象,確定a的取值范圍,a的取值范圍需保證同時成立,還得保證這5個根互不相等.
試題解析:(1),則
,得,而處有極大值,  
;綜上:.  3分
(2)假設(shè)存在,即存在,使得

當(dāng)時,又,故,則存在,使得
,            4分
 當(dāng)時,,; 
5分
 當(dāng)時,,  6分
無解;綜上:.                7分
(3)據(jù)題意有有3個不同的實根,有2個不同的實根,且這5個實根兩兩不相等.\(ⅰ)有2個不同的實根,只需滿足;    8分
(ⅱ)有3個不同的實根,
當(dāng)時,處取得極大值,而,不符合題意,舍;    9分
當(dāng)時,不符合題意,舍;
當(dāng)時,處取得極大值,;所以;  10分
因為(ⅰ)(ⅱ)要同時滿足,故;(注:也對)   11分
下證:這5個實根兩兩不相等,即證:不存在使得同時成立.
若存在使得,
,即,得,
當(dāng)時,,不符合,舍去;
當(dāng)時,既有   ①;
又由,即  ②;   聯(lián)立①②式,可得;
而當(dāng)時,沒有5個不
同的零點,故舍去,所以這5個實根兩兩不相等.
綜上,當(dāng)時,函數(shù)有5個不同的零點.     14分
練習(xí)冊系列答案
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(1)若,試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性;
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已知函數(shù)(其中).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)上有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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設(shè)函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;   
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極小值-1.
(1)求a、b
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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下面四個圖象中,有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則f(-1)等于(  )
A.B.-C.D.-

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函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為(    )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)

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已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4,則___________.

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A.1B.2C.3D.4

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