設(shè)函數(shù)在上的最大值為().
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:對(duì)任何正整數(shù)n (n≥2),都有成立;
(3)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有成立.
(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)先求得,令,得或,因?yàn)橐紤]根與定義域的位置關(guān)系,故需討論n的取值.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,將定義域分段,并考慮導(dǎo)函數(shù)符號(hào),劃分單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)大致圖象,進(jìn)而求最大值,從而求得;(2)由(1)得,將所求證不等式等價(jià)變形為,,再利用二項(xiàng)式定理證明;(3)由(2)得,,再將不等式放縮為可求和的數(shù)列問(wèn)題處理.
(1)
,
當(dāng)時(shí),由知或,
當(dāng)時(shí),則,時(shí),,在上單調(diào)遞減,
所以
當(dāng)時(shí),,時(shí),,時(shí),,
∴在處取得最大值,即,
綜上所述,.
(2)當(dāng)時(shí),要證,只需證明
∵
∴,所以,當(dāng)時(shí),都有成立.
(3)當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立;
當(dāng)時(shí),由(II)知
.
所以,對(duì)任意正整數(shù),都有成立. 13分
考點(diǎn):1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值;2、二項(xiàng)式定理;3、放縮法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知曲線 y = x3 + x-2 在點(diǎn) P0 處的切線 平行直線
4x-y-1=0,且點(diǎn) P0 在第三象限,
求P0的坐標(biāo); ⑵若直線 , 且 l 也過(guò)切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.
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(14分)(2011•福建)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)求實(shí)數(shù)b的值;
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)a=1時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m<M),使得對(duì)每一個(gè)t∈[m,M],直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)討論在內(nèi)和在內(nèi)的零點(diǎn)情況.
(2)設(shè)是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),求在上的最值.
(3)證明對(duì)恒有.[來(lái)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求的值;
(2)設(shè)(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax3+(a-2)x+c的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=-2ln x在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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