【題目】已知向量 =(m,cos2x), =(sin2x,n),設(shè)函數(shù)f(x)= ,且y=f(x)的圖象過點( )和點( ,﹣2).
(1)求m,n的值;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)的圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【答案】
(1)解:已知: ,

則: =msin2x+ncos2x,

y=f(x)的圖象過點y=f(x)的圖象過點( , )和點( ,﹣2).

則: 解得: ,

即:m= ,n=1

故答案為: m= ,n=1


(2)解:由(1)得: = ,f(x)向左平移φ個單位得到:

g(x)=2sin(2x+2Φ+ ),

設(shè)g(x)的對稱軸x=x0,最高點的坐標為:(x0,2)點(0,3)的距離的最小值為1,則: ,

則:g(0)=2,

解得:Φ= ,

所以:g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x.

令:﹣π+2kπ≤2x≤2kπ (k∈Z)

則:單調(diào)遞增區(qū)間為:[ ](k∈Z)

故答案為:單調(diào)遞增區(qū)間為:[ ](k∈Z)


【解析】(1)首先根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算求得f(x)=msin2x+ncos2x,進一步根據(jù)圖象經(jīng)過的點求得:m和n的值.(2)由(1)得: = ,f(x)向左平移φ個單位得到g(x)=2sin(2x+2Φ+ )設(shè)g(x)的對稱軸x=x0 , 最高點的坐標為:(x0 , 2)點(0,3)的距離的最小值為1,則:g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x,進一步求得單調(diào)區(qū)間.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象.

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