Question

如圖：已知線(xiàn)段AB=4，動(dòng)圓O₁與線(xiàn)段AB相切于點(diǎn)C，且AC-BC=2

2

，過(guò)點(diǎn)A，B分別作⊙O₁的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，且P、O₁均在A(yíng)B的同側(cè)．
（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，當(dāng)O₁位置變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)交曲線(xiàn)E于點(diǎn)M、N，求△AMN面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）以AB為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，則|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2

2

，
∴點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)雙曲線(xiàn)上，且2c=4，2a=2

2

，
∴c=2，a=

2

，
∴b=

c2-a2

=

2

∴P點(diǎn)的軌跡E為：

x2

2

-

y2

2

=1（x＞

2

）；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線(xiàn)：x=my+2代入雙曲線(xiàn)

x2

2

-

y2

2

=1得（m²-1）y²+4my+2=0，顯然m≠±1
∵M(jìn)、N在雙曲線(xiàn)一支上，∴|m|＜1．
S_△AMN=

1

2

×|AB|×|y1-y2|=2

16m2 (m2-1)2 - 8 m2-1

=2

8(m2+1) (m2-1)2

令t=m²+1，有1≤t＜2，則S_△AMN=2

8t (t-2)2

=2

8 t+ 4 t -4

在[1，2）上遞增
∴當(dāng)t=1，即m=0時(shí)，△AMN面積取得最小值為4

2

．