【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù).當(dāng)時,若區(qū)間上存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.(為自然對數(shù)底數(shù))
【答案】(1) 極小值為;(2) 實數(shù)的取值范圍為.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)的切線的幾何意義,得到,即,解得.從而得到導(dǎo)函數(shù),再研究導(dǎo)函數(shù)的正負,得到原函數(shù)的單調(diào)性從而得到極值;(2)構(gòu)造函數(shù)令 ,只需在區(qū)間上的最小值小于零,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。對構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),研究單調(diào)性求最值即可。
(1),
因為曲線在點處的切線與直線的垂直,
所以,即,解得.
所以.
∴當(dāng)時, , 在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , 在上單調(diào)遞增;
∴當(dāng)時, 取得極小值,
∴極小值為.
(2)令 ,
則,欲使在區(qū)間上上存在,使得,
只需在區(qū)間上的最小值小于零.
令得, 或.
當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,則的最小值為,
∴,解得,
∵,∴;
當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞增,則的最小值為,
∴,解得,∴;
當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
則的最小值為,
∵,∴.
∴,此時不成立.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為
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【題目】已知函數(shù),關(guān)于的不等式只有1個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知圓心為C的圓經(jīng)過O(0,0))和A(4,0)兩點,線段OA的垂直平分線和圓C交于M,N兩點,且|MN|=2
(1)求圓C的方程
(2)設(shè)點P在圓C上,試問使△POA的面積等于2的點P共有幾個?證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,橢圓的離心率為,其左焦點到點的距離為.不過原點的直線與相交于兩點,且線段被直線平分.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的面積取最大值時直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)的定義域內(nèi)的零點個數(shù).
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA面ABCD,且AB=2,AD=4,
AP=4,F是線段BC的中點.
⑴ 求證:面PAF面PDF;
⑵ 若E是線段AB的中點,在線段AP上是否存在一點G,使得EG面PDF?若存在,求出線段AG的長度;若不存在,說明理由.
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【題目】定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足:①f(0)=0;②f(x)+f(1﹣x)=1;③f( )= f(x);④當(dāng)0≤x1<x2≤1時,f(x1)≤f(x2).則f( )= .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為圓心,單位長度為半徑的圓上有兩點A( , ),B( , ). (Ⅰ)求 , 夾角的余弦值;
(Ⅱ)已知C(1,0),記∠AOC=α,∠BOC=β,求tan 的值.
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