【題目】如圖,橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn),且線(xiàn)段被直線(xiàn)平分.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的面積取最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.
【答案】(1)橢圓的方程為;(2)直線(xiàn)的方程為.
【解析】試題分析:(1)由題意得到離心率,再結(jié)合距離公式即可得: , 所求橢圓的方程為: .(2)易得直線(xiàn)的方程: ,用點(diǎn)差法得到,設(shè)直線(xiàn)的方程為: ,與橢圓方程聯(lián)立得,由得到的取值范圍;由弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離表示出面積,即可求出直線(xiàn)的方程.
試題解析:(1)由題: ;
左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為: .
由可解得: .
所求橢圓的方程為: .
(2)易得直線(xiàn)的方程: ,設(shè).其中.
、在橢圓上,
.
設(shè)直線(xiàn)的方程為: ,
代入橢圓: .
顯然.
且.
由上又有: .
.
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為: .
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),三角形的面積最大,此時(shí)直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,側(cè)棱長(zhǎng)分別為1, ,2,且它的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的體積為( )
A.
B.
C.
D.8π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為選拔選手參加“中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)”,某中學(xué)舉行了一次“謎語(yǔ)大賽”活動(dòng),為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿(mǎn)分為100分)作為樣本,(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照,,,,的分組作出如下頻率分布直方圖.
(1)由如下莖葉圖(圖中僅列出了得分在,的數(shù)據(jù))提供的信息,求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)”,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),若區(qū)間上存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某個(gè)體戶(hù)計(jì)劃經(jīng)銷(xiāo)A、B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),當(dāng)投資額為x(x≥0)萬(wàn)元時(shí),在經(jīng)銷(xiāo)A、B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬(wàn)元與g(x)萬(wàn)元、其中f(x)=a(x﹣1)+2(a>0);g(x)=6ln(x+b),(b>0)已知投資額為零時(shí),收益為零.
(1)試求出a、b的值;
(2)如果該個(gè)體戶(hù)準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案,使他能獲得最大收益,并求出其收入的最大值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):ln3≈1.10).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a≥0,f(x)=x﹣1﹣ln2x+2alnx(x>0).
(1)令F(x)=xf′(x),討論F(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí),恒有x>ln2x﹣2alnx+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,銳角△ABC中, = , = ,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn). (Ⅰ)試用 , 表示 ;
(Ⅱ)若| |=5,| |=3,sin∠BAC= ,求中線(xiàn)AM的長(zhǎng).
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