【題目】如圖,已知與分別是邊長為1與2的正三角形,,四邊形為直角梯形,且,,點為的重心,為中點,平面,為線段上靠近點的三等分點.
(1)求證:平面;
(2)若二面角的余弦值為,試求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)連并延長交于,連,由三角形的重心的條件及題意可得,故,再根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論.(2)由題意得兩兩垂直,由此建立空間直角坐標系.設(shè),結(jié)合條件求得平面的法向量為,又平面的法向量為,根據(jù)二面角的余弦值為可求得,進而可求得異面直線與所成角的余弦值.
詳解:(1)證明:在中,連并延長交于,連.
因為點為的重心,
所以,且為中點.
又,
所以,
所以.
又為中點,
所以.
又,
所以,
所以,,,四點共面,
又平面,平面,
所以平面.
(2)由題意,平面,即平面,
又平面,
所以.
因為平面平面,且交線為,,
所以平面.
又四邊形為直角梯形,,,
所以,
所以平面.
因為,,
所以平面平面,
又與分別是邊長為1與2的正三角形,
故以為原點,為軸,為軸,為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè),則,,,,,,
因為,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
由,得,
令,得.
又平面的法向量.
由題意得,
解得,
又,,
所以 .
所以異面直線與所成角的余弦值為.
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【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=百米.
(1)若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;
(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)是由個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組,記作:.其中稱為數(shù)組的“元”,為的下標.如果數(shù)組中的每個“元”都來自數(shù)組中不同下標的“元”則稱為的子數(shù)組.定義兩個數(shù)組,的關(guān)系數(shù)為.
(1)若,,設(shè)是的含有兩個“元”的子數(shù)組,求的最大值及此時的數(shù)組;
(2)若,,且,為的含有三個“元”的子數(shù)組,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周移動支付次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合計 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
(1)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”,按分層抽樣的方法,在我市所有“移動支付達人”中,隨機抽取6名用戶
求抽取的6名用戶中,男女用戶各多少人;
② 從這6名用戶中抽取2人,求既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率.
(2)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”,填寫下表,問能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下,認為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)?
P(χ2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | .635 |
非移動支付活躍用戶 | 移動支付活躍用戶 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
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【題目】有120粒試驗種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個坑內(nèi),每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次,且第二次補種的種子顆粒同第一次).假定每個坑第一次播種需要2元,補種1個坑需1元;每個成活的坑可收貨100粒試驗種子,每粒試驗種子收益1元.
(1)用表示播種費用,分別求出兩種方案的的數(shù)學期望;
(2)用表示收益,分別求出兩種方案的收益的數(shù)學期望;
(3)如果在某塊試驗田對該種子進行試驗,你認為應(yīng)該選擇哪種方案?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓與圓外切于原點,且兩圓圓心的距離,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓和圓的極坐標方程;
(2)過點的直線、與圓異于點的交點分別為點和點,與圓異于點的交點分別為點和點,且.求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極值,對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】古代“五行”學認為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有
A.5種B.10種
C.20種D.120種
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè).對任意,都有,
求實數(shù)的取值范圍.
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